se da una ecuación. cuna 3θ + 1 = csc 3θ?

(a) Encuentre todas las soluciones de la ecuación.

(b) Encuentre las soluciones en el intervalo [0, 2π).

1 Answer

  • a.

    cot(3θ) + 1 = csc(3θ),

    cos(3θ)/sin(3θ) + 1 = 1/sin(3θ), [3θ ∉ {kπ : k ∈ Z}]

    cos(3θ)/sen(3θ) – 1/sen(3θ) = -1,

    (cos(3θ) – 1)/sen(3θ) = -1,

    cos(3θ) – 1 = -sin(3θ),

    cos(3θ) – 1 = -√(1 – cos(3θ)^2),

    cos(3θ)^2 – 2cos(3θ) + 1 = 1 – cos(3θ)^2,

    2cos(3θ)^2 – 2cos(3θ) = 0,

    cos(3θ)(cos(3θ) – 1) = 0

    => cos(3θ) = 0, 3θ ∈ {π(2k + 1)/2 : k ∈ Z}, θ ∈ {π(2k + 1)/6 : k ∈ Z}.

    => cos(3θ) – 1 = 0, cos(3θ) = 1, 3θ ∈ {2kπ : k ∈ Z}.

    Pero {2kπ : k ∈ Z} ⊂ {kπ : k ∈ Z}.

    Entonces, como 3θ ∉ {kπ : k ∈ Z}, se sigue que 3θ ∉ {2kπ : k ∈ Z}.

    Por lo tanto, la solución es θ ∈ {π(2k + 1)/6 : k ∈ Z}.

    Sin embargo, a medida que elevamos al cuadrado, aún debemos verificar si hay resultados extraños.

    cuna(π(2k + 1)/6) + 1 = 0 + 1 = 1.

    Pero csc(3θ) = 1 solo cuando 3θ = 2nπ + π/2 = π(4n + 1)/2, θ = π(4n + 1)/6.

    Como {π(4k + 1)/6 : k ∈ Z} ⊂ {π(2k + 1)/6 : k ∈ Z}, podemos restringir aún más nuestro conjunto solución a

    x ∈ {π(4k + 1)/6 : k ∈ Z}.

    b.

    θ ∈ {π(4k + 1)/6 : k ∈ Z}∩[02π)[02π)

    = {π/6,5π/6,9π/6}.

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