se da una ecuación. cuna 3θ + 1 = csc 3θ?
(a) Encuentre todas las soluciones de la ecuación.
(b) Encuentre las soluciones en el intervalo [0, 2π).
1 Answer
a.
cot(3θ) + 1 = csc(3θ),
cos(3θ)/sin(3θ) + 1 = 1/sin(3θ), [3θ ∉ {kπ : k ∈ Z}]
cos(3θ)/sen(3θ) – 1/sen(3θ) = -1,
(cos(3θ) – 1)/sen(3θ) = -1,
cos(3θ) – 1 = -sin(3θ),
cos(3θ) – 1 = -√(1 – cos(3θ)^2),
cos(3θ)^2 – 2cos(3θ) + 1 = 1 – cos(3θ)^2,
2cos(3θ)^2 – 2cos(3θ) = 0,
cos(3θ)(cos(3θ) – 1) = 0
=> cos(3θ) = 0, 3θ ∈ {π(2k + 1)/2 : k ∈ Z}, θ ∈ {π(2k + 1)/6 : k ∈ Z}.
=> cos(3θ) – 1 = 0, cos(3θ) = 1, 3θ ∈ {2kπ : k ∈ Z}.
Pero {2kπ : k ∈ Z} ⊂ {kπ : k ∈ Z}.
Entonces, como 3θ ∉ {kπ : k ∈ Z}, se sigue que 3θ ∉ {2kπ : k ∈ Z}.
Por lo tanto, la solución es θ ∈ {π(2k + 1)/6 : k ∈ Z}.
Sin embargo, a medida que elevamos al cuadrado, aún debemos verificar si hay resultados extraños.
cuna(π(2k + 1)/6) + 1 = 0 + 1 = 1.
Pero csc(3θ) = 1 solo cuando 3θ = 2nπ + π/2 = π(4n + 1)/2, θ = π(4n + 1)/6.
Como {π(4k + 1)/6 : k ∈ Z} ⊂ {π(2k + 1)/6 : k ∈ Z}, podemos restringir aún más nuestro conjunto solución a
x ∈ {π(4k + 1)/6 : k ∈ Z}.
b.
θ ∈ {π(4k + 1)/6 : k ∈ Z}∩[02π)[02π)
= {π/6,5π/6,9π/6}.